Méthode des ondelettes

Abstract

En moins de 20 ans, les ondelettes se sont imposées comme une théorie mathématique féconde et un formidable outil de traitement du signal et de l'image. La théorie des ondelettes vient compléter de manière très e¢ cace, l'analyse de Fourier utilisée depuis deux siècles. Les ondelettes constituent un outil polyvalent qui trouve des applications dans des domaines aussi riches que variés comme la géophysique, l'astrophysique, la biomé- trie, les sciences biomédicales, les nanotechnologies, etc. Elles ont également ouvert des champs d'investigation nouveaux et ont pu résoudre des problèmes qui ne trouvaient pas de solutions dans les méthodes actuelles. Les ondelettes sont très performantes pour trois problèmes généraux en traitement du signal : l'analyse, le débruitage et la compression, en particulier la compression d'images dont le JPEG 2000 sera très bientôt le nouveau standard, remplaçant dé…nitivement l'actuel JPEG. Nous avons vu en quoi les ondelettes et les gaborettes constituent une alternative à l'analyse de Fourier traditionnelle. En effet nous disposons à présent de méthode de décomposition des signaux en fonctions élémentaires, engendrées par des transformations simples d'une fonction de base. La fonction de base est soit déplacée et modulé (dans le cas des Gaborettes), soit translatée et dilatée (ondelettes). La différence fondamentale entre les deux tient précisément à cette opération de dilatation : les ondelettes s'adaptent d'elles mêmes à la taille des caractéristiques qu'elles recherchent grâce a l'analyse multi résolution qui suggéré une interprétation différente de l'analyse par ondelettes, basée sur les idées de lissage, ou d'approximation des fonctions. Il s'avère ainsi que les différents outils que nous avons étudiés ici sont davantage complémentaires que concurrents, et l'analyse de Fourier classique peut en effet être plus performante sur certains domaines.