Abstract:
Ce mémoire a pour objet de revisiter un domaine important et passionnant des mathématiques: la combinatoire.
Aussi ancienne que la théorie des nombre, la combinatoire ne cesse d'évoluer et de s'étendre à plusieurs champs scientifiques. Elle s'est d'ailleurs structuré en branches en raison de la multiplicité de ses objets et de la diversité de ses méthodes. Elle est par exemple analytique ou bijective du point de vue de la méthode. Et elle est algébrique, additive ou topologique au regard de la nature de son objet.
Les objets combinatoires sont analysés selon leur mode d'organisation : structures combinatoires (classes et structures d'espèces) et structures algébriques (algèbres et opérades).
Le mémoire aborde ensuite la question des méthodes en exposant deux puissants outils de la combinatoire : les séries génératrices et la preuve bijective.
Suit un chapitre consacré à un objet particulier et fondamental en combinatoire : les mots.
Le mémoire se termine par une application portant sur les hiérarchies de segments et dans laquelle seront mis en œuvre les instruments précédemment cités à savoir série génératrice, preuve bijective et les mots. Une contribution personnelle modeste a été toutefois introduite dans cette partie. Elle consiste dans le recours à la combinatoire des mots pour définir les hiérarchies et les chemins royaux et l'utilisation d'une méthode beaucoup plus simple pour dénombrer ces chemins.