Introduction aux Systèmes hamiltoniens avec contraintes.

Abstract

Dans ce travail, nous avons étudié les propriétés des systèmes physiques décrits par des lagrangiens singuliers. Nous avons à cette occasion développé une théorie consistante permettant de déterminer l'évolution dynamique de tels systèmes dans le cadre de la formulation hamiltonienne. La transition au trai- tement hamiltonien a exigé une transformation de Legendre, mais en raison de la nature singuliére du lagrangien, celle-ci a donné naissance à certaines rela- tions entre les variables de l'espace des phases qui ne sont que les contraintes primaires. Pour continuer, ces contraintes primaires sont ajoutées au hamiltonien ca- nonique avec des coe±cients appelés les multiplicateurs de Dirac, ce qui nous a permis de généraliser les notions de la mécanique analytique pour les systèmes avec contraintes. Une conséquence directe de cette procédure est l'apparition de nouvelles contraintes secondaires que l'évolution de notre système doit préserver dans le temps d'ou l'algorithme de Dirac -Bergmann. Le formalisme construit nous a conduit à une distinction naturelle entre des contraintes de première classe et des contraintes de deuxième classe. Nous avons, par la suite, prouvé que les contraintes primaires de la première classe génèrent des transformations de jauge car les multiplicateurs de Dirac couplant ces contraintes avec le hamiltonien canonique ne peuvent pas ^etre ¯fixés avec les conditions de consistance. Par conséquent, on a conclu que tout système physique ayant des contraintes de première classe possède des symètries de jauge. Contrairement aux contraintes de la première classe, il est possible de ¯xer les multiplicateurs couplant les contraintes de deuxième classe. Ceci nous a amenés à défi¯nir le crochet de Dirac, qui est une généralisation du crochet de Poisson, pour des systèmes avec des contraintes de deuxième classe. Nous avons m^eme démontré comment éliminer les contraintes de première classe de la théorie en imposant des conditions de ¯xation de la jauge a¯n de défi¯nir encore le crochet de Dirac. Après examen des deux classes de contraintes, nous nous sommes occupés de la quanti¯cation de la théorie développée. En effet, nous avons remplacé les crochets de Poisson par les crochets de Dirac dans la formule de la quanti¯- cation canonique pour déterminer les relations de commutation des opérateurs quantiques. Ce travail reste une introduction à l'étude des systèmes singuliers, et il sera très utile d'essayer d'appliquer ce formalisme en théorie quantique des champs a¯n de voir son vrai intér^et car à part le lagrangien de Klein-Gordon, tous les autres champs, le champs gravitationel y compris, sont décrits par des lagran- giens singuliers.