La mécanique analytique avec les variables de Grassmann.

Abstract

Dans ce mémoire, nous avons étudié la mécanique analytique dans les algèbres de Grassmann dans le but de développer une théorie consistante avec des variables qui anti-commutent, afin aborder les systèmes physiques décrits par des lagrangiens pseudo-classiques. A cet effet, nous avons d'abord construit le formalisme de la pseudo-mécanique qu'est la mécanique d'un système pseudo-classique décrit par les variables canoniques ordinaires et par les variables de Grassmann. Cette mécanique nous a permis de trouver une méthode puissante pour l'étude des systèmes Fermioniques et de leur donner une description classique, car à la limite, les systèmes de Fermions ont un caractère purement quantique et ne possèdent pas de correspondants classiques. En effet, l'utilisation de l'algèbre de Grassmann pour faire de la mécanique analytique nous a permis d'obtenir les crochets de Poisson entre les différentes variables physiques et de les transformer en relations de commutation et d'anti- commutation dans le domaine quantique, ce qui est une généralisation de la quantification canonique aux systèmes pseudo-classiques. Les opérateurs bosoniques vérifient des relations de commutation entre eux et avec les opérateurs fermioniques, tandis que ces derniers obéissent à des relations d'anti-commutation entre eux. La version quantifiée de la pseudo-mécanique n'est rien d'autre que la théorie quantique ordinaire. Enfin, nous mentionnons que moyennant ces systèmes pseudo-classiques nous avons la possibilité de décrire le spin à un niveau pseudo-classique, d'ailleurs, c'est la motivation initiale de ce travail. Nous avons pu aussi retrouver l'oscillateur harmonique fermionique en partant d'un lagrangien pseudo-classique. Dans une dernière application, nous avons démontré que l'équation de Pauli décrivant une particule ayant un spin ½ se déplaçant dans l'espace et le temps, peut être obtenue en commençant par un lagrangien pseudo-classique, réel et pair, contenant des variables ordinaires et des variables de Grassmann. Ce travail nous a montré aussi que la limite classique ? ? ? 0 ? de la théorie quantique avec les opérateurs de Fermi est la pseudo-mécanique. L'intérêt de ce résultat est qu'il n'y plus de distinction formelle entre le cas classique et pseudo- classique, nous avons toujours une formulation classique et quantique. Donc nous avons pu constater que cette théorie unifie les variables qui commutent et qui anti-commutent, afin d'étudier les fermions et les bosons d'une manière symétrique.