Abstract:
La dynamique topologique" et "La théorie ergodique" deux branches des systèmes dynamiques qui étudient leur évolution au …l du temps en se moyennant par
des outils topologiques et mesurables respectivement. Elles décrivent des résultats
di¤érents mais qui sont presque similaires. Ce mémoire du titre "Liens entre le
cadre topologique et ergodique des systèmes dynamiques discret" a pour
objectif la mise en œuvre de ce parallélisme existant entre les di¤érents concepts les
concernant.
On a présenté dans ce travail une introduction aux di¤érentes notions concernant
chaque théorie où notre attention est surtout concentrée sur la transitivité, ergodicité,
minimalité et unique ergodicité d’un système dynamique discret, tout en introduisant
quelques notions basiques en dynamique symbolique.
On a prouvé un résultat topologique obtenu par un outil mesurable, en e¤et on
a montré grâce au théorème de récurrence de Poincaré que les endomorphismes du
shift ultimement périodiques et surjectifs sont périodiques.
On a cité ensuite quelques résultats liant les di¤érents concepts abordés dans ce
mémoire grâce à quoi on a …ni par conclure que l’équivalence que ce soit entre la
transitivité et ergodicité ou entre la minimalité et unique ergodicité ne peut pas avoir
lieu malgré leur similarité. Par contre sous certaines conditions de plus véri…ées par le
système dynamique certaines implications restent valables. Notre étude est appuyée
par des exemples de systèmes dynamiques avec des riches structures comme ceux
introduit par les mathématiciens : Wiess, Furstenberg et Petersen
