Familles Sommables et Applications

Abstract

Ce mémoire est constitué de quatre chapitres : Le premier chapitre est dédié à quelques rappels concernant notament la dénombra- bilité. Dans le second chapitre, nous présentons le cas où les ai sont des nombres réels ou des nombres complexes. Pour faciliter l.utilisation dans d.autres branches des mathématiques (analyse complexe, séries de Fourier, analyse fonctionnelle...), on étudie dans la première partie de ce chapitre les familles positives pour lesquelles il n.existe qu.un phénomène d.accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d.attribuer à la famille (ai)i2I une somme, .nie ou in.nie. Eunsuite, nous exposons les familles sommables de nombres réels (resp. de nombres complexes), nous dé.nissons très simplement la notion de sommabilité et celle de somme en séparant les parties positives et les parties négatives (resp. les parties réelles et les parties imaginaires). Un résultat très important pour cette partie est celui de l.équivalence entre la sommabilité et l.absolue sommabilité. Dans le troisième chapitre, nous étudions les familles vectorielles dont la famille des normes a une somme .nie. Il n.est alors pas di¢ cile d.attribuer à la famille initiale une somme vectorielle qui possède toutes les vertus souhaitables. Nous nous situons d.emblée dans le cas où les ai sont des éléments d.un espace vectoriel normé et nous donnons la dé.nition de la convergence d.une série de vecteurs de terme général ai dans un espace vectoriel normé, l.ensemble d.indexation étant N. On dit que cette série converge et a pour somme le vecteur S de E si la suite des sommes partielles Sn = a0 + a1 + ::: + an converge vers S, autrement dit si kSn .. Sk tend vers 0 quand n tend vers +1. Ceci s.écrit encore 8" > 0; 9n0 2 N; 8n n0; kSn .. Sk < ": (0.0.1) Si on veut généraliser ceci à une famille de vecteurs (ai)i2I , où I est un ensemble in.ni quelconque, on se heurte immédiatement à une di¢ culté, c.est qu.une écriture comme 8i i0, n.a en général pas de sens dans I qui n.a aucune raison d.être muni d.une relation d.ordre total. Essayons alors de traduire l.idée exprimée par (0.0.1) sans faire appel à la structure d.ordre de N. On remarque pour cela que Sn réalise une approximation de S par la somme d.un nombre .ni de termes de la famille (ai)i2N avec une erreur kSn .. Sk < ". Cette approximation peut être réalisée par une somme .nie indexée par n.importe quel ensemble In = f0; 1; :::; ng pourvu que n n0. Pour se débarrasser de la relation d.ordre intervenant dans cette dernière écriture on la reformule en In In0 . Réécrivons maintenant (0.0.1) à l.aide des ensembles emboîtés In. 8" > 0; 9I0 = In0 = f0; 1; :::; n0g ; 8In In0 ;

X i2In ai .. S

< ": (0.0.2) Au risque d.insister lourdement, notons que dans l.écriture, "8In In0", In ne désigne pas n.importe quelle partie .nie de N, mais un ensemble .ni de la forme f0; 1; 2; :::; ng. Avons nous réussi ainsi à expurger (0.0.1) de la relation d.ordre sur N? En fait non, nous avons seulement réussi à la cacher dans la dé.nition des ensembles In d.entiers consécutifs entre 0 et n. Si on veut vraiment généraliser à un ensemble d.indexation I quelconque, on est donc condamné à renoncer à cette structure particulière des In et à ne retenir que leur .nitude. On est ainsi amené à introduire une nouvelle notion de convergence pour la série de terme général ai 8" > 0; 9J (.ni) N; 8I .ni tel que J I N;

X i2I ai .. S

< ": L.objet du quatrième chapitre est de dé.nir les familles sommables induites par la structure de groupe topologique. En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un .ltre est une structure dé.nie sur un ensemble, et permettant d.étendre la notion de limite aux situations les plus générales. La théorie des .ltres a été inventée en 1937 par Henri Cartan, et utilisée par le groupe Bourbaki. Il su¢ t en e¤et d.une addition (la loi de composition interne du groupe) et d.une topologie pour "additionner des objets en quantité quelconque", plus précisément les objets considérés sont des éléments d.un groupe topologique commutatif et séparé.