Les équations fractionnaires dans les systèmes complexes.

Abstract

Dans ce mémoire on a étudié le transport diffusif où nous avons discuté de la cinétique du système dynamique complexe. Pour bien comprendre cette cinétique, nous avons étudié de près les équations FPK et FFPK. Après avoir introduit l’équation maitresse qui décrit l’évolution temporelle d’un système, cela a permis de déterminer l’équation FPK. Cette dernière est une équation différentielle linéaire que la densité de probabilité de transition d’un processus markovien doit satisfaire. .Autrement dit, le processus peut être vu comme une diffusion normale en présence éventuellement de forces extérieures. La probabilité de transition doit également satisfaire l’équation de Chapman-Kolmogorov. en d'autres termes, les informations sur un système quelconque peuvent être retrouvées grâce aux équations cinétiques. Le type et la structure de l’équation cinétique adéquate dépendent du choix de l’espace considéré et du processus aléatoire qu’il soit ou non markovien. En effet, le lien entre une description géométrique fractale ou multifractale et une description statistique, en utilisant les moments, laissent apparaitre, sous certaines conditions, l’équation FFPK. Celle-ci représente la généralisation de l’équation FPK. Par la suite, l’évolution des moments définit des exposants caractéristiques bien précis traduisant ainsi soit la diffusion, la superdiffusion ou la subdiffusion.Finalement, nous avons présenté quelques structures différentes qui apparaissent dans l’espace des phases a l’aide de la standard map. Cette présentation cinétique conduit soit à une statistique gaussienne dans le cas de fortes perturbations où k =10, le transport est normal, ou bien dans le cas de faibles perturbations où k =1.5, le transport est anormal.