Quelques aspects fondamentaux de la théorie de l'estimation quantique.

Abstract

L’objectif de ce mémoire est de donner une introduction succincte à l’approche de l’estimation quantique [6,7] comme cadre théorique permettant de déterminer les états sondes quantiques optimaux, moyennant la fonction de Fisher Quantique et les mesures quantiques optimales via la fonction de Fisher classique, conduisant ainsi à l'estimateur quantique optimal du paramètre recherché, exprimé en termes de la dérivée logarithmique symétrique. Le présent travail sera organisé comme suit. Dans le premier chapitre, nous allons donner un rappel de mécanique quantique [8,9,10], en mettant en exergue les trois concepts de base véhiculés par les postulats de la théorie, à savoir, les notion d’états quantique, de mesure quartiques et d’évolution des systèmes quantique. Nous allons aussi présenter la généralisation du concept de l’état en termes de l’opérateurs densité ainsi que l’adaptation des postulats à ce nouveau formalisme. Par ailleurs, la construction des états quantiques des systèmes composés y sera brièvement exposée ainsi l’exemple emblématique du qubit [11,12]. Le deuxième chapitre sera consacré à la théorie classique de l’estimation [13,14]. On y présentera les notions d’estimation biaisées et non biaisée, la variance de l‘estimateur, l’erreur quadratique moyenne, estimateur sans biais à variance minimal, l’erreur standard d’un estimateur, la méthode des moments et la méthode de vraisemblance maximale. Le troisième chapitre est dédié à la théorie de l’estimation quantique, où des formules explicites pour la dérivée logarithmique symétrique et les informations quantiques de Fisher seront données. Aussi, nous y évaluerons la limite ultime de précision du paramètre à estimer dans le cadre des inégalités de Cramer Rao Quantique et nous présentons la mesure optimale atteignant cette précision.