Méthodes Numériques d’Estimation de la Probabilité de Ruine

Abstract

La théorie de la ruine est un des domaines des sciences actuarielles o`u la complexité mathématique est un facteur limitant les chercheurs. Dans ce mémoire, on s’intéresse donc `a des méthodes numériques permettant d’approximer la probabilité de ruine pour les différentes quantités d’intérèt. Cependant, avant d’aborder le coeur du sujet, on fournit une revue de la littérature concernant la théorie de la ruine et on étudie certaines mesures de ruine en temps fini et infini pour des mod`eles de risque. On présente aussi les bases mathématiques nécessaires `a la compréhension de ce mémoire pour toute personne ayant des connaissances de bases en science actuarielle et en statistiques. Puis, le coeur de ce travail, l’évaluation numérique de mesures de ruine `a l’aide de deux méthodes numériques basées sur la simulation, respectivement, (1) la méthode de Monte Carlo simple, et (2) la méthode basée sur l’échantillonnage préférentiel. Nous discuterons également de la qualité respective de chaque méthode. En particulier, nous montrerons que la méthode basée sur l’échantillonnage préférentiel fournit des résultats sans biais et avec une erreur relative bornée. On présentera aussi plusieurs illustrations num´eriques. Ruin theory is a field in actuarial science where researchers are often impeded by mathematical complexity. In this thesis, we look at some numerical methods that can be used to alleviate this problem. Before getting to the core of this work, we provide a review of the literature concerning ruin theory and we study some finite and infinite time ruin measures within risk models. We also present the mathematical background necessary to understand this memoir for anyone with a basic understanding of actuarial science and statistics. The main focus of this work is the computation of ruin measures via two different methods based on simulations, namely (1) the crude Monte Carlo method, and (2) the importance sampling method based on change of measure techniques. Another topic that is discussed is the quality of the approximation of each method. In particular, we show that the importance sampling method provides unbiased approximations and bounded relative errors. We also present numerous numerical illustrations.