Sur la résolution des Problèmes inverses

Abstract

Les problèmes inverses ont un domaine d'investigation très large, ils constituent une branche de recherche Mathématique dont l'importance ne cesse de croître. On les trouves aussi bien dans le domaine de la mécanique, de la thermique, de la météorologie, qu'en statistiques, en traitements d'images .....etc, d'où la naissance de plusieurs méthodes de résolutions à ces problèmes. Un problème inverse est en général une situation où on est dans l'ignorance du système (certaines informations concernant la géométrie, les matériaux, les conditions initiales....). La plupart de ces problèmes sont modélisés (étape difficile, se conserter avec un spécialiste du domaine étudié ). En fait, notre travail consiste en la présentation de quelques méthodes de résolution, en particulier la méthode de régularisation de Tikhonov. Une étude comparative des deux méthodes de résolution des problèmes inverses linéaires Tikhonov et SVD est présentée dans ce mémoire. Dans ce mémoire, nous avons étudié la meilleure approximation de la solution du problème Ax = b dans le cas où l'opérateur est une matrice carré inversible. Nous avons utilisé la méthode de régularisation Tikhonov ainsi que la méthode de décomposition en valeurs singulières dans différents cas système exacte et opérateur A ou b perturbé. On a constaté que la méthode de Tikhonov est meilleur que SVD dans les cas de perturbation.

En pratique, il est conseillé d'utiliser la méthode de Tikhonov, car les données sont obtenues à partir d'une expérience, elle sont donc non exactes. Si on refait l'expérience dans les mêmes conditions on n'obtiendra pas les mêmes valeurs. Notre étude est portée sur un opérateur qui est une matrice carré inversible, mais peut être étendue au cas d'une matrice rectangulaire ou un autre opérateur quelconque (intégrale,...).