Liens entre le cadre topologique et le cadre ergodique des systèmes dynamiques discrets

Abstract

La dynamique topologique" et "La théorie ergodique" deux branches des systèmes dynamiques qui étudient leur évolution au …l du temps en se moyennant par des outils topologiques et mesurables respectivement. Elles décrivent des résultats di¤érents mais qui sont presque similaires. Ce mémoire du titre "Liens entre le cadre topologique et ergodique des systèmes dynamiques discret" a pour objectif la mise en œuvre de ce parallélisme existant entre les di¤érents concepts les concernant. On a présenté dans ce travail une introduction aux di¤érentes notions concernant chaque théorie où notre attention est surtout concentrée sur la transitivité, ergodicité, minimalité et unique ergodicité d’un système dynamique discret, tout en introduisant quelques notions basiques en dynamique symbolique. On a prouvé un résultat topologique obtenu par un outil mesurable, en e¤et on a montré grâce au théorème de récurrence de Poincaré que les endomorphismes du shift ultimement périodiques et surjectifs sont périodiques. On a cité ensuite quelques résultats liant les di¤érents concepts abordés dans ce mémoire grâce à quoi on a …ni par conclure que l’équivalence que ce soit entre la transitivité et ergodicité ou entre la minimalité et unique ergodicité ne peut pas avoir lieu malgré leur similarité. Par contre sous certaines conditions de plus véri…ées par le système dynamique certaines implications restent valables. Notre étude est appuyée par des exemples de systèmes dynamiques avec des riches structures comme ceux introduit par les mathématiciens : Wiess, Furstenberg et Petersen