Sur l'existence et l'unicité des solutions des équations aux lois de conservation Application au modèle de saint-venant

Abstract

Nous avons tenté, dans ce mémoire, de faire un état de l.art sur les pro- blématiques liées aux questions de l.existence, l.unicité et la régularité de la solution de certains systèmes aux dérivées partielles. Nous nous sommes parti- culièrement intéressés aux modèles mathématiques évolutifs sous leurs formes conservatives. (Conservation de la masse, conservation de l.énergie, de quantité de mouvement. . . etc. La modélisation et l.approximation numérique de systèmes EDP régissant des problèmes conservatifs présentent des di¢ cultés spéci.ques. En e¤et, les modèles hyperboliques, notamment, se distinguent par la présence de beaucoup d.invariants locaux. Lors du processus d.approximation numérique, ces invariants perdent leur aspect conservatif, ce qui peut entrainer une perte de stabilité et la modi.cation des propriétés qualitatives de la solution. Nous avons constaté d.après notre étude des di¤érents résultats exposés dans la littérature que la question de l.existence d.une solution reste posée dès que la dimension d.espace d>1. C.est pour cela que l.approche numérique est privilégiée pour le calcul de la solution. L.approche de la solution faible entropique permet de garantir l.unicité d.une solution parmi celles admissibles physiquement.