Equations diférentielles stochastiques et applications

Abstract

Le but de ce travail est l’ étude des équations difiérentielles stochastiques, qui motiv`erent les premiers travaux d’It^o sur l’intégrale stochastique. Dans un premier temps, nous avons passé en revue les notions fondamentales des processus stochastiques, en particulier le mouvement Brownien, ainsi que les principaux théor`emes du calcul stochastique. Dans un second temps, apr`es les déflnitions générales sur les équations difiérentielles stochastiques, nous avons traité le cas Lipschitien, dans lequel les résultats forts d’existence et d’unicité des solutions sont présentés. Enfln, pour illustrer l’étude numérique des EDSs, on s’est intéressé `a l’équation de Black and Scholes, pour laquelle on a appliqué les trois méthodes Euler, Runge Kutta et Milstein. On constate que les méthodes qui sont e–cace pour les EDO ne sont pas forcément e–cace pour les EDSs et comme exemple la méthode de runge Kutta qui est moins flable pour les EDSs que pour les EDO