Existence et unicité de solution presque périodique positive pour un modèle proie-prédateur

Abstract

L’objectif principal de ce mémoire concerne un résultat d’existence et d’unicité de solution presque périodique positive d’un modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra issu d’un problème réel. Ce modèle introduit pour étudier l’effet des niveaux d’eau sur la persistance ou l’extinction de populations de poissons vivant dans un lac artificiel. Il est connu que lorsque la fonction d’accessibilité est continue et 1-périodique, ce modèle admet une unique solution positive et 1-périodique. Afin de rendre le système du modèle plus réaliste, la fonction d’accessibilité est remplacée par une fonction presque périodique. On a montré dans ce mémoire que sous certaines conditions le problème considéré admet une seule solution presque périodique. Les arguments utilisés sont essentiellement basés sur les propriétés des fonctions presque périodiques. Afin de rendre la compréhension des résultats énoncés possible, on a commencé par exposer quelques définitions concernant la dynamique des populations, les modèles proies-prédateurs et les équations différentielles ordinaires. Par la suite, plusieurs notions concernant les fonctions presque périodiques sont données à savoir : leurs différentes définitions, leurs propriétés fondamentales et un théorème de superposition construit avec une fonction presque périodique à paramètre. The main objective of this Master thes is concerns a result of existence and uniqueness of a positive almost periodic solution of a Lotka-Volterra prey-predator model obtained from a real problem. This model is introduced to study the effect of water level on the persistence or extinction of fish populations living in an artificial lake. It is known that when the accessibility function is continuous and 1-periodic this model has a unique positive 1-periodic In order to make the model system more realistic, the accessibility function is replaced by an almost periodic function. It isshownin this Master thes is that under some conditions the considered problem admits a unique almost periodic solutionThe arguments used are essentially based on the properties of almost periodic functions. To understand the given results, we first recall some definitions and results including : definitions about population dynamics, prey-predator models, and ordinary differential equations. Then, several concepts related to almost periodic functions are discussed, including : their various definitions, their fundamental properties, and a superposition theorem built on parameter almost periodic function.