Autour du concept d'attracteur en systèmes dynamiques

Abstract

Le mémoire intitulé "Autour du concept d’attracteur en systèmes dynamiques" explore les attracteurs dans les systèmes dynamiques discrets. Dans ce travail, nous aborderons les définitions et les notions fondamentales des systèmes dynamiques discrets, y compris les concepts de la dynamique symbolique. Ensuite, nous définirons les attracteurs, et présenterons leur caractérisation ainsi que leur relation avec les ensembles oméga limite et les ensembles invariants par chaînes. Nous fournirons une brève présentation des bifurcations. Par la suite, nous étudierons les exposants de Lyapunov, les fractales et les différentes dimensions fractales, qui sont des outils permettant de classifier les attracteurs. Nous identifierons les différents types d’attracteurs, notamment les attracteurs réguliers prenant la forme de points fixes et d’orbites périodiques attractives, ainsi que les attracteurs étranges ou chaotiques. Pour illustrer ces concepts, nous présenterons des exemples célèbres tels que les attracteurs de Hénon, de Lozi, de Pichover et de Mira-Gomuwski. Enfin, nous introduirons les attracteurs des endomorphismes du shift et ceux des sous-shifts, en étudiant leurs caractérisations et en les illustrant avec quelques exemples.