Sur le comportement itératif de polynômes cubiques à coefficients réels

Abstract

Dans ce mémoire, on a présenté des ensembles de Julia de polynômes cubiques à coe¢ cients réels. On a énoncé, en nous basant sur la théorie des systèmes dynamiques holomorphes, les principales propriétés de ces ensembles. Nous avons construit un algorithme de recherche des antécédents d.un point .xe répul- sif (ou indi¤érent) par le polynôme P considéré. Ces antécédents approchent la frontière invariante des bassins d.attractions des points .xes (et des cycles) attractifs de P (lorsque ceux-ci existent), et cette frontière coïncide avec l.ensemble de Julia J(P) de P: Cette frontière nous permet de prévoir le comportement de la suite (Pn(z))n2N pour tout point z du plan complexe, et donc de déterminer tous les ensembles invariants de P. Nous avons appliqué cet algorithme à di¤érents exemples de polynômes cubiques, en traçant la frontière J(P) correspondante à chacun d.eux. Comme les théorèmes de ce mémoire ne s.appliquent qu.aux fractions rationnelles, la suite logique de ce travail réside dans l.étude du comportement itératif d.autres types de fonctions complexes telles que ez, sin(z); Log(z); etc. En.n, la théorie des systèmes dynamiques discrets, mais non holomorphes, présente assurément un éventail plus large de directions de recherche.