Une étude de la dynamique du modèle de Ricker

Abstract

Les systèmes d’équations différentielles paramétrées peuvent avoir différents comportements asymptotiques (tendre vers un équilibre , un cycle limite . . .) en fonction des valeurs de leurs paramètres . Il peut donc exister certaines valeurs pour les quelles le comportement du système passe d’un état qualitatif a un autre (l’attracteur du système était un équilibre et devient un cycle par exemple ). Ce changement d’´etat qualitatif est une bifurcation et la valeur du paramètre associée est appelée valeur de bifurcation. Sur un intervalle de valeurs d’un paramètre qui contient une valeur de bifurcation, un système est donc structurellement instable. L’analyse de bifurcations a pour objectif de localiser ces éventuelles valeurs particulières des paramètres. Nous consacrerons la première partie de notre travail à la présentation de la méthode du point fixe. Dans le deuxième chapitre nous donnons des définitions relatives aux systèmes dynamiques discrets. Nous développons particulièrement des concepts lies à la dynamique chaotique et a la bifurcation en illustrant ces notions par des exemples. L’observation la succession des bifurcations permet de comprendre les mécanismes qui peuvent conduire à l’apparition du chaos. Le dernier chapitre est consacré à l’application de la théorie du Chaos au modèle de W. Ricker. L’outil mathématique manque (concernant ce modèle), on aura recours a l’ordinateur. Pour cela, on a élabore deux programmes écrit sous Matlab, le premier pour approcher les valeurs de bifurcation successives, alors que le deuxième nous a permis de visualiser le diagramme de bifurcation.