Systémes dynamiques discrets: Transformations ponctuelles bidimensionnelles

Abstract

Dans le cadre de ce mémoire, on s’intéresse aux syst7mes dynamiques discrets, autonomes, mode-lises par des transformations ponctuelles bidimensionnelles et non inversibles (appelées aussi Endomorphismes). Cette notion est une propriété essentielle pour l’analyse des comportements complexes ou chaotiques de ces syst7mes. Dans l’espace des phases, cette propriété de non inversibilite des applications est caractérisée par la présence de singularités appelées courbes critiques. Ce type de singularités, introduit pour la première7re fois par C. Mira en 1964, est la generalisation de la notion de points critiques dans le cas unidimensionnel. Elles interviennent dans la determination des aires absorbantes et chaotiques, dans la caracterisation des proprietes de ces aires et aussi pour expliquer des bifurcations globales. L’etude de la succession des bifurcations permet de comprendre les mecanismes qui conduisent `a l’apparition des comportements chaotiques. On montre que ses bifurcations sont dues `a leurs interactions avec les courbes critiques, en expliquant la formation d’auto-intersection intervenant pour une variete instable d’un col et l’apparition d’oscillation pour une courbe invariante fermee. On s’intéresse aussi, aux bifurcations de contact entre la fronti7re du bassin d’attraction d’un attracteur avec les lignes critiques et les aires chaotiques. Ces derni7res interviennent dans la fractalisation des bassins d’attraction et la destruction de l’attracteur chaotique.