Stabilité des Processus QBD (Quasis Birth and Death process)

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons `a l’approximation des systèmes de files d’attente en remplacant la loi des inter-arrivées (resp. des durées de service) générale par une loi de type phase proche dans un certain sens. Nous obtenons ainsi des modèles de files d’attente qui peuvent être résolus d’une manière exacte en utilisant la méthode de la matrice géométrique après représentation par des processus de quasi naissance et mort (QBD). En général, l’approximation d’une distribution positive quelconque par une distribution de type phase se fait en tenant compte de la complexité´e des calculs, de la disponibilité´e des données et de l’efficacité de l’algorithme. C’est pour cela que nous nous contentons d’un certain niveau de précision. Ajoutons `a cela le fait que les paramètres sont estimes `a partir des données réelles par des méthodes statistiques. Cela constitue en fait, des perturbations au modèle et induit des déviations dans les caractéristiques par rapport `a celles du système réel représenté´e. Il faut alors vérifier que le système est suffisamment robuste pour résister aux perturbations et estimer ensuite la grandeur de la déviation dans ses caractéristiques. Nous considérons pour le cas du système de files d’attente de type G/M/1 (resp. M/G/1) la possibilité de l’approximer par un modèle PH/M/1 (resp. M/PH/1) o`u PH désigne une distribution hyperexponnentielle H2 ou hypoexponnentielle HOE2 suivant la valeur du coefficient de variabilité de la distribution d’origine. Nous utilisons la méthode de stabilité forte pour justifier cette approximation et estimer l’erreur qui en résulte.