Oscillations dans un mod`ele de compétition et de coopération entre deux entreprises avec retards

Abstract

Les économistes ne se sont intéressés aux probl`emes dynamiques qu’`a partir les années 1920 avec les travaux de Hoteling et Ramesey. Cependant, il a fallu attendre les années 1960 pour que les techniques des mathématiques dynamiques soient largement introduites en économie. Aujourd’hui, ces techniques de mathématiques dynamiques font partie de la bo^ite `a outils de l’économiste et se sont devenues indispensables pour comprendre l’évolution de certains mod`eles. Ce travail est consacré principalement `a l’étude qualitative d’un mod`ele de compétition et de coopération entre deux entreprises avec retard, qui est `a l’origine de mod`ele proie prédateur de Lotka - V oltera. Ce probl`eme est modélisé par un syst`eme des équations différentielles,afin de comprendre l’évolution de l’état de ce syst`eme c’est-`a-dire la sortie du syst`eme au cours du temps et en fonction de son état initial. On se basant sur le théorème de point fixe de Banach, on a démontré l’existence et l’unicité de la solution pseudo-presque-périodique de ce mod`ele sous condition suffisante qu’on a présenté . Une simulation numérique est réalisé afin de traiter un exemple d’un mod`ele de compétition et de coopération entre deux entreprises avec retard, tout en assurant l’existence des solutions pseudo-presque-périodique pour ce mod`ele, ainsi que leurs trajectoires au cours du temps. Economists’ interest in dynamic problems grew since 1920 starting from Hoteling and Ramesey0s works, but the technics of dynamic mathematics where widely introduced into economics from the 1960s only nowadays, this tecnics are mostly the bigest components of the economist’s toolbox, by the way, they became requiste for understanding the evolution of some models. This work is mainly devoted to the qualitative study of a competition and cooperation model between two companies with delay, which is at the origin of the predatory prey model of Lotka - V oltera. This problem is modeled by a system of differential equations, in order to understand the evolution of the state of this system, i.e. the output of the system over time and as a function of its initial state. Based on the fixed point theorem of Banach, the existence and uniqueness of the pseudo-almost periodic solution of this model has been demonstrated under the sufficient condition that we have presented . A numerical simulation is carried out in order to deal with an example of a competition and cooperation model between two companies with a delay, while ensuring the existence of pseudoalmost periodic solutions for this model, as well as their trajectories over time.