Abstract:
Depuis la fin du XIX`eme siécle, la théorie des nombres transcendents
a connu un développement considérable. Des mathématiciens tels que CH.
Hermite et F. Lindemann ont établi respectivement la transcendance de e
et ?. Par la suite, la transcendance de ln ? (o`u ? est un nombre algébrique
différent de 0 ou 1), ??(o`u ? est un nombre algébrique différent de 0) et e?
(o`u ? est un nombre algébrique irrationnel) a ´et´e d´emontrée. Ces résultats
ont ´et´e obtenus par Gelfond et Schneider dans les années 30. Notons que e?
est transcendant, car e? = i(?2i)...
Bien que de nombreux résultats aient ´et´e obtenus sur la transcendance
de plusieurs nombres, il reste encore de nombreux nombres dont la transcendance n'a pas ´et´e d´emontrée, tels que ?e, e + ?, e?, ainsi que la constante
d'Euler ?, définie comme la limite de la somme de 1/k moins ln(n) lorsque
n tend vers l'infini.
La théorie des nombres transcendents connaˆ?t aujourd'hui un essor important grˆace aux travaux profonds de nombreux math´ematiciens tels que
A. Baker, W.D. Brownawell, S. Lang, K. Mahler, D. Masser, K.F. Roth, W.
Schmidt, M. Waldschmidt et bien d'autres
