Sur une classe de systèmes di¤érentiels planaires de type Kolmogorov

Abstract

Dans ce travail on s’est intéressé à l’étude qualitative des systèmes di¤érentiels polynômiaux planaires. Plus précisement, à celle de type Kolmogorov. Il est important pour un système di¤érentiel de savoir s’il admet ou non une solution périodique, de plus si cette solution est isolée, on parle par dé…nition d’un cycle limite. D’autre part on doit savoir si ce système admet une intégrale première ou non. Ainsi le calcul de cette intégrale détermine complètement son portrait de phase. Les résultats obtenus dans ce mémoire s’articulent sur ces questions. Dans le premier chapitre on a présenté quelques notions de base, concernant la théorie qualitative des systèmes di¤érentiels, en particulier les systèmes di¤érentiels polynômiaux planaires, pour mieux comprendre la suite. Dans le deuxième chapitre on s’est intéressé au cycles limites, où on a annoncé les di¤érents critères d’existence et de non-existence de cycles limites d’un système di¤érentiel planaire avec des exemples d’application et on a étudié la stabilité des cycles limites. Dans le troisième chapitre on a déterminé l’expression explicite des courbes algébriques qui sont formées par les orbites pour une classe des systèmes di¤é- rentiels, et on a déterminé aussi les conditions d’existence de l’intégrale première et la non existence de cycles limites. Pour les perspectives : Il est commode d’espérer trouver une classe des systèmes di¤érentiels quadratiques qui admet un cycle limite donné explicitement. Il est commode de chercher des modèles de systèmes di¤érentiels par particulier système de Kolmogorov dans beaucoup de phénomènes naturels (dynamique des populations, les réactions chimiques, la physique des plasmas...), et essayer d’appliquer notre démarche dans la recherche de l’expression explicite de cycles limites.Notre investissement est dans ce chemin, ce mémoire sert comme un outil puissant dans la recherche des cycles limites.