Propriétés des systèmes dynamiques définis sur l’intervalle

Abstract

Dans ce mémoire, on s'est intéressé aux systèmes dynamiques discrets définis sur l'intervalle. Ces derniers possèdent des propriétés particulières, le théorème de Sharkovsky et son inverse en sont les manifestations notables. Dans le cadre de la théorie du chaos plusieurs définitions existent. Les plus connues étant celle de li Yorke et celle dite de Devaney. Dans le cadre de la dynamique de l'intervalle il est intéressant de constater que l'existence d'un point 3 ?? priodique ou bien la transitivité couplée d'existence de deux points fixes ou plus implique le chaos selon Li Yorke, et que la transitivité suffit à assurer le chaos selon Devaney. Il serait intéressant d'étudier les systèmes dynamiques définis sur l'intervalle ayant des points de discontinuité. La question de savoir si une entropie non nulle entraîne le chaos au sens de Li-Yorke, restée longtemps ouverte, a reçu une réponse affirmative de la part de Blanchard, Glasner, Kolyada et Maass en 2002. Par ailleurs, pas mal de recherches pour généraliser ces résultats obtenus dans le cadre des systèmes dynamiques sur l'intervalle au cadre de ceux définis sur le cercle avaient lieu. Propriétés des systèmes dynamiques définis sur l'intervalle