Existence de solutions nodales pour des systèmes elliptiques quasi-linéaires et non-variationnels

Abstract

L'objectif de ce mémoire est de présenter des résultats d'existence et de multiplicité de solutions pour des systèmes d'équations elliptiques quasi-linéaires soumis à des conditions au bord de Dirichlet. Il s'agit essentiellement d'étudier des propriétés qualitatives des solutions qui consiste à fournir une information précise sur leur signe. Plus précisement, on considère le problème suivant 8>>>< >>>: ??_p1u1 = f1(x; u1; u2) dans ??_p2u2 = f2(x; u1; u2) dans u1; u2 = 0 sur @ (P) o_u _ RN (N _ 2) est un domaine borné de frontiere régulière @ et dont les parties principales des équations sont gouvernées par l'opérateur aux d'erivées partielles pi-Laplacian _pi (1 < pi < 1). Les fonctions non-lin_eaires fi : _R _ R ! R, i = 1; 2 sont suppos_ees de Carath_eodory et v_eri_ant certaines conditions de croissance qui seront _enonc_ees dans les chapitres suivants. Dans tout ce qui suit, on dira que (u1; u2) est une solution (faible) du problème (P) si (u1; u2) 2 W1;p1 0 () _W1;p2 0 () et v_eri_e 8< : R jru1jp1??2ru1r' dx = R f1(x; u1; u2)' dx R jru2jp2??2ru2r dx = R f2(x; u1; u2) dx pour tout ('; ) 2 W1;p1 0 () _W1;p2 0 (). Notre principal intérêt dans ce travail est de montrer, en premier lieu, l'existence de solutions de signe constant pour le système (P) : l'existence d'une solution positive