Courbes invariantes et intégrales premières pour certaines classes de systèmes différentiels de type kolmogorov

Abstract

Dans ce travail on s.est intéressé à l.étude qualitative des systèmes di¤éren- tiels polynômiaux planaires ainsi qu.à celle des systèmes di¤érentiels planaires de Kolmogorov. Il est important pour un système di¤érentiel de savoir s.il admet ou non une intégrale première, une solution périodique, de plus si cette solution périodique est isolée, on parle par dé.nition d.un cycle limite. D.autre part le calcul de l.intégrale première d.un système di¤érentiel planaire détermine com- plètement le portrait de phase du système. Pour les modèles issus de la pratique, il est important d.étudier ces questions : intégrale première, solution périodique, cycle limite, portrait de phase. Les résultats présentés dans ce mémoire s.arti- culent sur ces questions. Dans le premier chapitre on a présenté quelques notions de base, concer- nant la théorie qualitative des systèmes di¤érentiels, en particulier les systèmes di¤érentiels planaires de type Kolmogorov. Dans le second chapitre on a présenté quelques résultats sur les courbes in- variantes et les intégrales première pour une classe de systèmes di¤érentiels pla- naires de type Kolmogorov de degré 3 dont on a utilisé l.équation di¤érentielle de Bernoulli et on a présenté quelques exemples d.applications. Dans le troi- sième chapitre on a présenté quelques résultats sur les courbes invariantes et les intégrales première pour une classe de systèmes di¤érentiels planaire de type Kolmogorov de degré 5 dont on a utilisé l.équation di¤érentielle de Riccati et on a présenté quelques exemples d.applications. 4