Sur l’étude des équations aux différences non linéaires via la théorie du point fixe

Abstract

Nous nous sommes intéressées dans ce travail à l'étude des équations aux différences autoadjointes non linéaires posées sur des intervalles discrets bornés de la forme : _(p(k ?? 1)_y((t ?? 1)) + q(t)y(t) = f(t; y(t)); t 2 I = [a; b + 1] \ N; (1) où _ est l'opérateur de différence et f : I _ R ! R est une fonction continue. Nous avons présenté un ensemble de résultats fondamentaux concernant les équations aux différences linéaires du second ordre. Ces résultats permettent de bien maitriser quelque outils de base nécessaires à une étude plus approfondie des équations aux différences non linéaires. Des résultats d'existence d'au moins une ou deux solutions positives de l'équation (1), associée à des conditions aux bords linéaires séparées, sont présentés. L'approche utilisée est la théorie du point fixe sur les cônes des espaces de Banach. Plus précisément, nous avons utilisé le théorème du point fixe d'expansion et de compression d'un cône de Krasnosel'skii ainsi que deux extensions du theorème de Leggett-Williams. Abstract We are interested in this work by the study of nonlinear self-adjoint difference equations posed on bounded discrete intervals of the form : _(p(k ?? 1)_y((t ?? 1)) + q(t)y(t) = f(t; y(t)); t 2 I = [a; b + 1] \ N; (2) where _ is the difference operator and f : I _ R ! R is a continuous function. We have presented fundamental results concerning second-order linear difference equations. These results allow us to master some basic tools necessary for a more in-depth study of nonlinear difference equations. Existence results of at least one or two positive solutions of the equation (2), associated with separate linear boundary conditions, are presented. The approach used is the fixed point theory on cones of Banach spaces. More precisely, we used the fixed point theorem of expansion and compression of a Krasnosel'skii cone as well as two extensions of the Leggett-Williams theorem.