Minimisation d'un problème linéaire-quadratique de controle optimal avec des contraintes de phase terminales et une application à un modèle épidémiologique de type covid-19

Abstract

Après un rappel sur les systèmes dynamiques, leur stabilité et leur contrôle, on présente dans cette thèse un algorithme pour trouver une solution numérique approximative pour les problèmes linéaires de contrôle optimal. Ensuite, on a appliqué la théorie du contrôle optimal à un système épidé- miologique. Le système proposé est un modèle généralisé du type SEIR qui comporte trois contrôles, représentant la distanciation sociale, les moyens de prévention et les mesures de traitement pour lutter contre la propagation de la pandémie de Covid-19, avec des données réelles disponibles italiennes. En considérant le principe du minimum de Pontryagin, appliqué pour un système épidémiologique non linéaire et une fonctionnelle, quadratique et convexe par rapport au contrôle, nous montrons comment dans ce cas on aurait pu diminuer drastiquement le nombre d’individus sensibles, exposés, infectés, mis en quarantaine et morts, et ce en augmentant la population d’individus protégés. After a reminder on dynamical systems, the stability and control, we present in this thesis an algorithm to fnd an approximate numerical solution for linear problems of optimal control. After that, optimal control theory was applied to an epidemiological system. The proposed system is a generalized model of the SEIR type which has three controls, representing the effect of social distancing, the effect of preventive means, and the effect of treatment to combat the spread of the Covid-19 pandemic, with available real italian data. By considering the Pontryagin minimum principle, applied for a nonlinear epidemiological system and a functional which is quadratic and convex with respect to the control, we show how in this case we could have drastically reduced the number of susceptible, exposed, infected, quarantined, and dead individuals, and that, by increasing the population of protected individuals.