Sur la quantification des systèmes avec contraintes

Abstract

Ce travail de thèse étudie la question de la quantification des systèmes physiques singuliers ayant des contraintes. Il met l’accent sur une méthode particulière, dite la méthode des constantes d'intégration généralisée, qui est une méthode simple, directe, et accessible, n'exigeant pas des outils mathématiques très avancées. Son principe est d'utiliser le développement limité de la solution des équations de mouvement au voisinage de l'instant initial, et se servir des conditions initiales pour déduire les crochets nécessaires à la quantification canonique, par de simples identifications. Plusieurs systèmes sont traités avec succès, à commencer par le champ de Klein-Gordon qui est un champ régulier, dont la quantification est relativement simple. A l’opposé, le champ de Maxwell présentant une symétrie de jauge est un champ singulier, et nécessite plus d’effort pour résoudre les difficultés rencontrées. Dans les deux cas, la quantification s’est faite dans l’espace des positions et dans l’espace des impulsions. Par la suite, une étude du champ de Proca, décrit par un lagrangien contenant un terme de masse, brisant sa symétrie de jauge, est effectuée et elle s’est soldée par l’obtention des bons crochets des variables fondamentales. A la fin, l'action de Stueckelberg qui est une formulation invariante de jauge du champ de Proca, obtenue suite au couplage du terme de masse avec un champ scalaire réel est quantifiée, suivant les étapes claires et directes de la méthode des constantes d'intégration généralisées.