Etude Variationnelle Du Système D’élasticité Linéaire

Abstract

Dans ce mémoire, nous avons montré que le problème d.élasticité linéaire est bien posé, c.est-à-dire, nous avons montré l.existence et l.unicité de la solution ainsi que la stabilité de celle-ci par rapport à des perturbations des données, en appliquant l.approche vari- ationnelle. En premier lieu, nous avons établi la formulation variationnelle, puis nous avons résolu la formulation variationnelle en utilisant le théorème de Lax-Milgram, a.n d.appliquer ce théorème, la seule hypothèse non triviale à véri.er porte sur la coercivité de la forme bilinéaire a(:; :), nous avons réglé le problème en démontrant l.inégalité de Korn. En.n, nous avons interprété la formulation variationnelle pour véri.er qu.on a bien résolu le problème aux limites de l.élasticité. L.approche variationnelle s.avère riche et puissante, elle permet de construire la méth- ode des éléments .nis, fournissant ainsi un moyen d.approcher la solution qui, bien sou- vent, n.est pas calculable explicitement. L.élasticité linéaire ne représente qu.un comportement simpli.é très particulier des solides. Dans la nature, la plupart des problèmes rencontrés obéissent à des lois de comportement non linéaires, c.est-à-dire le tenseur des contrainte est une fonction non linéaire du tenseur des déformation "(u) dans le cadre de l.élasticité non linéaire en petits déplacements. Il en résulte que les équations correspondantes de l.équilibre sont non linéaires, contrairement aux équations rencontrées dans l.élasticité linéaire. Les phénomènes mécaniques non linéaires sont un domaine très actif actuellement de la mé- canique des solides, en liaison avec la recherche des matériaux nouveaux (polymères, matériaux composites, . . . ) et de l.étude de leurs propriétés mécaniques.