Sur la théorie du point fixe dans les espaces métriques et applications

Abstract

Ce mémoire comprend trois chapitres : Dans le premier chapitre, on rappelle quelques notions mathématiques de base nécessaires pour la suite de cette étude. Dans le deuxième chapitre, on présente quelques théorèmes du point fixe. Comme le théorème du point fixe le plus simple et le plus utilisé dans la littérature concerne les applications contractantes, on commence par discuter le principe de contraction de Banach. Une version locale ainsi que plusieurs généralisations de ce théorème sont présentées dans ce chapitre. Il est inévitable que toute discussion sur les applications contractantes (k-Lipchitzienne, k 2 [0; 1[) conduise naturellement aux applications non-expansives (1-Lipschitzienne), ce qui explique pourquoi nous avons choisi de parler de cette classe dé applications. Le théorème de Schauder pour les applications non-expansives ainsi que le théoréme de Browder et Gohde sont présentés. Le chapitre se termine par présenter lé alternative non linéaire de Leray-Schauder pour les applications contractantes, après avoir montré que la propriété dé existence du point fixe est invariante par homotopie pour cette classe d'applications. Dans le troisième chapitre, plusieurs résultats connus, en analyse, ont été démontrés en faisant appel aux théorémes du point fixe étudiés dans le chapitre précédent. Ces résultats concernent principalement, le théorème de Cauchy-Lipschitz, le théorème de Stampacchia, ainsi que quelques types équations intégrales.