Analyse variationnelle et théorie isopérimétrique

Abstract

En géométrie, une géodésique désigne la généralisation d'une ligne droite sur une sur-face. En particulier, le chemin le plus court, ou l'un des plus courts chemins s'il enexiste plusieurs, entre deux points dun espace pourvu d'une métrique est une géodésique. Lorsque l'on change cette notion de distance, les géodésiques de l'espace peuvent prendre une allure trés diérente. Les exemples les plus familiers de géodésiques sont les lignes droites en géométrie euclidienne. Sur une sphére, les géodésiques sont les grands cercles. Le chemin le plus court entre un point A et un point B sur une sphére est donné la plus petite portion du grand cercle passant par A et B: Si A et B sont aux antipodes (comme le pole Nord et le pole Sud), il existe une inénité de plus en plus courts chemins. Le théoréme d' Euler-Lagrange est utilisable pour la détermination de ces géodésiques, qui donne une condition nécessaire pour que l'extrémale soit solution du probléme varia-tionnel. Aussi mieux que sa, le théoréme de Hilbert donne une condition nécessaire et sur sante pour que l'extrémale soit solution du probléme variationnel. Le sujet de l'isopérimétrie a une longue et riche histoire, à la fois pour son impact sur l'imagination populaire et plus généralement sur celle de la société et aussi Poas llan qu'il a donné l'étude de sujets mathématiques variés. L'isopérimétrie est initialement