Sur l’estimation non paramétrique de la densité et du mode

Abstract

Ce travail est une contribution au problème d'estimation de la densité de probabilité et du mode d'une densité Dans une première partie, nous avons exposé les différentes méthodes d'estimation de la densité, `a savoir l'estimation par les séries orthogonales, l'es-timation par histogramme et l'estimation par la méthode du noyau. L'estimateur `a noyau est fonction de deux paramaitres : la fonction K appelée noyau et h appelé paramètre de lissage ou fenêtre. Si le choix du noyau K n'est pas un problème dans l'estimation de la densité de probabilité, il n'en est pas de même pour le choix du paramètre de lissage h qui ne d´epend que de la taille de l'´echantillon. Dans ce mémoire, nous avons exposé les différentes méthodes de sélection du paramètre de lissage, à savoir Les méthodes reposant sur la validation croisée et l'autre classe de méthode dite plug-in (ré-injection). Nous avons également donné le principe d'estimation par la méthode des fonctions orthogonales et nous avons indiqué les principaux résultats relatifs à la convergence de l'estimateur suivant divers modes stochastiques ainsi que la méthode de sélection du paramètre de lissage. La deuxième partie de ce mémoire est consacrée `a l'´etude de l'estimation non paramétrique du mode. Dans ce but, nous avons exposé les différentes méthodes d'estimation, à savoir les méthodes directes et les méthodes indirectes. Des comparaisons des différentes méthodes sont exposées et validées par des simulations numériques. . Abstract This work is a contribution to the problem of estimating the probability density and the mode of a density.In a first part, we exposed the different methods of density estima- tion, namely estimation by orthogonal series , histogram estimation and kernel method estimation. The kernel estimator is a function of two parameters : the function K called the kernel and h called the smoothing parameter.If the choice of the kernel K is not a problem in the estimation of the probability density, it is not the same for the choice of the smoothing parameter h which does not depends only on the sample size. In this work, we have exposed the different methods of selecting the smoothing parameter, namely the me- thods based on cross validation and the other class of method called plug-in (re-injection). We have also given the principle of estimation by the method of orthogonal functions and we have indicated the main results relating to the convergence of the estimator according to various stochastic modes as well as the method of selection of the smoothing parameter. The second part is devoted to the study of the nonparametric estimation of the mode. For this purpose, we have exposed the different estimation methods, namely direct methods and indirect methods. Comparisons of the different methods are exposed and validated by numerical simulations.