Les fonctions S-asymptotique w-périodiques généralisation et applications.

Abstract

Dans ce travail, nous avons commenc_e par rappeler bri_evement les fonctions p_eriodiques, les fonctions Bohr presque p_eriodiques, les semi groupes, les familles d'_evolution et les _equations di__erentielles _a retards. Par la suite, nous avons fait une pr_esentation d_etaill_ee de la S-asymptotique p_eriodicit_e en donnant ses propri_et_es, des exemples et son lien avec l'asymptotique p_eriodicit_e. Nous avons aussi montr_e un th_eor_eme de superposition et des r_esultats d'existence et d'unicit_e de solution "mild" S-asyptotiquement w-p_eriodique des _equations di__erentielles lin_eaires et semi lin_eaires _a coe_cients S??asyptotiquement w??p_eriodiques. Ensuite, on s'est int_eress_e _a la S-asymptotique p_eriodicit_e au sens de Stepanov qui est une g_en_eralisation de la S-asymptotique p_eriodicit_e aux fonctions non n_ecessairement continues. On a expos_e un th_eor_eme de superposition pour ces fonctions et on a montr_e un r_esultat d'existence et d'unicit_e de solution "mild" S-asyptotiquement w-p_eriodique d'une _equation di__erentielle non lin_eaire avec arguments constants par morceaux et des coe_cients S-asyptotiquement w-p_eriodiques au sens de Stepanov. Mots cl_es : S-asymptotiquement w-p_eriodiques, Stepanov S-asymptotiquement w-p_eriodiques, op_erateur lin_eaire, op_erateur non lin_eaire, semi-groupe, famille d'_evolution, solution "mild". ABSTRACT In this work, we started by briey recalling periodic functions, Bohr almost periodic functions, semigroups, evolution families and delay di_erential equations. Then, we gave a detailed presentation of the S??asymptotic periodicity : examples, properties of these functions and link with the asymptotic periodicity are given. We also showed a superposition theorem and results of existence and uniqueness of S-asyptotically w-periodic mild solution for a linear and semi-linear di_erential equations with S-asyptotically w-periodic coe_cients. After that, we are interested on the Stepanov S-asymptotic periodicity which is a generalization of the S-asymptotic periodicity to functions which are not necessarily continuous. We have exposed a superposition theorem for these functions and we have shown a result of existence and uniqueness of "mild" S-asyptotically w-periodic solution of a nonlinear di_erential equation with piecewise constant argument and Stepanov S-asyptotically w-periodic coe_cients. Key words : S-asymptotically w-p_eriodic, Stepanov S-asymptotically w-p_eriodic, linear operator, no linear operator, semi-groups, "mild" solution.