Nombres irrationnels, algébriques et transcendants

Abstract

Depuis la fin du XIX`eme siécle, la théorie des nombres transcendents a connu un développement considérable. Des mathématiciens tels que CH. Hermite et F. Lindemann ont établi respectivement la transcendance de e et ?. Par la suite, la transcendance de ln ? (o`u ? est un nombre algébrique différent de 0 ou 1), ??(o`u ? est un nombre algébrique différent de 0) et e? (o`u ? est un nombre algébrique irrationnel) a ´et´e d´emontrée. Ces résultats ont ´et´e obtenus par Gelfond et Schneider dans les années 30. Notons que e? est transcendant, car e? = i(?2i)... Bien que de nombreux résultats aient ´et´e obtenus sur la transcendance de plusieurs nombres, il reste encore de nombreux nombres dont la transcendance n'a pas ´et´e d´emontrée, tels que ?e, e + ?, e?, ainsi que la constante d'Euler ?, définie comme la limite de la somme de 1/k moins ln(n) lorsque n tend vers l'infini. La théorie des nombres transcendents connaˆ?t aujourd'hui un essor important grˆace aux travaux profonds de nombreux math´ematiciens tels que A. Baker, W.D. Brownawell, S. Lang, K. Mahler, D. Masser, K.F. Roth, W. Schmidt, M. Waldschmidt et bien d'autres