Quelques éléments de la théorie du point fixe positif

Abstract

L.objectif de ce travail est de présenter quelques théorèmes du point .xe sur les cônes en introduisant la théorie de l.indice du point .xe et de donner ensuite quelques applications à des problèmes aux limites associés à certains types d.équations di¤érentielles ordinaires. Ce mémoire se compose de trois chapitres: Nous présentons, dans le premier chapitre, quelques résultats préliminaires indispens- ables à la compréhension de la suite du travail. Ces résultats concernent essentiellement les notions suivantes: les cônes, le degré topologique et l.indice du point .xe. Nous avons rassemblé à la .n de ce chapitre quelques lemmes fondamentaux auquels nous aurons à se réfèrer tout au long de ce travail. Dans la première partie du deuxième chapitre, nous présentons quelques théorèmes du point .xe sur les cônes pour les opérateurs compacts qui entraînent l.existence d.un point .xe positif. Dans la deuxième partie, nous nous intéréssons à l.existence des points .xes multiples d.un opérateur non linéaire complètement continu dé.ni sur un cône dans un espace de Banach ordonné. Nous présentons dans cette partie des théorèmes qui donnent des conditions su¢ santes pour qu.un opérateur puisse avoir deux ou trois points .xes positifs. Dans le dernier chapitre, on étudiera quelques problèmes aux limites du type Dirichlet, associés aux équations diférentielles ordinaires du second ordre.