Abstract:
. L'objectif de ce m emoire est d'introduire, d'une part, la m ethode des
. sous et sur solutions et, d'autre part, d'aborder certaines de ses applications
. sur les syst emes d' equations elliptiques quasi-lin eaires. Le cas de probl emes
pr esentant eventuellement des singularit es a l'origine est egalement trait e.
. Cette m ethode consiste a construire des fonctions contenant au moins une
. solution du probl eme. En plus, elle fournit une information sur leur localisation
ainsi que sur leur signe. Par ailleurs, etant donn e que son application
. n'exige aucune structure variationnelle, de nombreuses etudes portant sur
K. des probl emes non-lin eaires s'y sont r ef er ees. Cela s'explique aussi par la
. possibilit e de l'associer ais ement a de nombreuses m ethodes et techniques,
. aussi bien variationnelles que non-variationnelles (m ethodes topologiques).
Notre travail est structur e en trois chapitres que nous d ecrivons bri evement.
Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques r esultats d'analyse
fonctionnelle sur les espaces de Lebesgue et de Sobolev. Nous pr esentons
. des propri et es sur les op erateurs, notamment l'op erateur p-Laplacien. Par
ailleurs, certaines d e
nitions et r esultats utiles sont egalement enonc es.
. Le chapitre deux est consacr e a la pr esentation de deux th eor emes d'existence
. impliquant les sous et sur solutions. L'un porte sur le cas d'un syst eme
. r egulier, o u les non-lin earit es sont dans des espaces de Lebesgue. L'autre
th eor eme se focalise sur le cas o u des singularit es apparaissent dans les
equations.
Le chapitre trois est consacr e a l' etude de l'existence et l'absence de solutions
r eguli eres pour une classe de syst emes quasi-lin eaires dans un domaine
born e de RN.
