Méthode des Sous Et Sur Solutions et applications

Abstract

. L'objectif de ce m emoire est d'introduire, d'une part, la m ethode des . sous et sur solutions et, d'autre part, d'aborder certaines de ses applications . sur les syst emes d' equations elliptiques quasi-lin eaires. Le cas de probl emes pr esentant eventuellement des singularit es a l'origine est egalement trait e. . Cette m ethode consiste a construire des fonctions contenant au moins une . solution du probl eme. En plus, elle fournit une information sur leur localisation ainsi que sur leur signe. Par ailleurs, etant donn e que son application . n'exige aucune structure variationnelle, de nombreuses etudes portant sur K. des probl emes non-lin eaires s'y sont r ef er ees. Cela s'explique aussi par la . possibilit e de l'associer ais ement a de nombreuses m ethodes et techniques, . aussi bien variationnelles que non-variationnelles (m ethodes topologiques). Notre travail est structur e en trois chapitres que nous d ecrivons bri evement. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques r esultats d'analyse fonctionnelle sur les espaces de Lebesgue et de Sobolev. Nous pr esentons . des propri et es sur les op erateurs, notamment l'op erateur p-Laplacien. Par ailleurs, certaines d e nitions et r esultats utiles sont egalement enonc es. . Le chapitre deux est consacr e a la pr esentation de deux th eor emes d'existence . impliquant les sous et sur solutions. L'un porte sur le cas d'un syst eme . r egulier, o u les non-lin earit es sont dans des espaces de Lebesgue. L'autre th eor eme se focalise sur le cas o u des singularit es apparaissent dans les equations. Le chapitre trois est consacr e a l' etude de l'existence et l'absence de solutions r eguli eres pour une classe de syst emes quasi-lin eaires dans un domaine born e de RN.